Активные RC-фильтры на операционных усилителях. Активные rс-фильтры Что такое порядок фильтра и крутизна среза

Б. Успенский

Простым приемом разделения каскадов по частотному признаку является установка разделительных конденсаторов или интегрирующих RC-цежи. Однако часто возникает необходимость в фильтрах с более крутыми склонами, чем у RС-цепочки. Такая потребность существует всегда, когда надо отделить полезный сигнал от близкой по частоте помехи.

Рис. 1. Идеальная частотная характеристика ФНЧ

Рис. 2. Структура фильтра второго порядка:

Возникает вопрос: можно ли, соединяя каскадно интегрирующие RС-цепочки, получить, например, сложный фильтр нижних частот (ФНЧ) с характеристикой, близкой к идеальной прямоугольной, как на рис. 1? Существует простой ответ на такой вопрос: даже если разделить отдельные RС-секции буферными усилителями, все равно из многих плавных перегибов частотной характеристики не сделать одного крутого. В настоящее время в диапазоне частот 0…0.1 МГц подобную задачу решают с помощью активных RС-фильтров, не содержащих индуктивностей.

Интегральный операционный усилитель (ОУ) оказался весьма полезным элементом для реализации активных RС-фильтров. Чем ниже частотный диапазон, тем резче проявляются преимущества активных фильтров с точки зрения микроминиатюризации электронной аппаратуры, так как даже при очень низких частотах (до 0,001 Гц) имеется возможность использовать резисторы и конденсаторы не слишком больших номиналов.

Таблица 1

Сравнение характеристик фильтров нижних частот (расчетная граница полосы пропускания 1 Гц)

Тип фильтра	Уровень - 3 дБ, Гц	Число полюсов (порядок)	Передача импульсов	Подавление в полосе задерживания, дБ
время нарастания до уровня 0,9, с
Фильтр Бесселя 3 дБ на 1,0 Гц


Фильтр Баттервор- та - ЗдБна 1,0 Гц


Фильтр Чебышева, пульсации 0,5 дБ


Фильтр Чебышева, пульсации 2,0 дБ

В активных фильтрах обеспечивается реализация частотных характеристик всех типов: нижних и верхних частот, полосовых с одним элементом настройки (эквивалент одиночного LC-контура), полосовых с несколькими сопряженными элементами настройки, режекторных, фазовых фильтров и ряда других специальных характеристик.

Создание активных фильтров начинают с выбора по графикам или функциональным таблицам того вида частотной характеристики, которая обеспечит желаемое подавление помехи относительно единичного уровня на требуемой частоте, отличающейся в заданное число раз от границы полосы пропускания или от средней частоты для резонансного фильтра. Напомним, что полоса пропускания ФНЧ простирается по частоте от 0 до граничной частоты f гр, фильтра высокой частоты (ФВЧ) - от f rp до бесконечности. При построении фильтров наибольшее распространение получили функции Баттерворта, Че-бышева и Бесселя. В отличие от других характеристика фильтра Чебышева в полосе пропускания колеблется (пульсирует) около заданного уровня в установленных пределах, выражаемых в децибелах.

Рис. 3. Структура фильтра третьего порядка:

а - нижних частот; б - верхних частот

Степень приближения характеристики того или иного фильтра к идеальной зависит от порядка математической функции (чем выше порядок - тем ближе). Как правило, используют фильтры не более 10-го порядка. Повышение порядка затрудняет настройку фильтра и ухудшает стабильность его параметров. Максимальная добротность активного фильтра достигает нескольких сотен на частотах до 1 кГц.

Одной из наиболее распространенных структур каскадных фильтров является звено с многопетлевой обратной связью, построенное на базе инвертирующего ОУ, который в расчетах принят за идеальный. Звено второго порядка показано на рис. 2. Для простоты реализации принимаем: для ФНЧ - R1 = R2 = R3 = R, R4 = 1,5R; для ФВЧ - С1 = С2 = СЗ = С, R2 = R3. Для ФНЧ определим расчетную емкость С о = 1/2пf rp R, где f гр - граничная частота. Для ФВЧ определим R o - 1/2пf гр С. Размерности в расчетах - Ом, Ф, Гц. Коэффициент передачи звена равен 1.

Значение C1, C2 для ФНЧ и Rl, R2 для ФВЧ тогда определяются умножением или делением С о и R o на коэффициенты из табл. 2 по правилу:

С1 = т 1 С 0 , R 1 = R o / m 1 С2 = т 2 С 0 , R 2 = R Q / m 2 .

Звенья третьего порядка ФНЧ и ФВЧ показаны на рис. 3. В полосе пропускания коэффициент передачи звена равен 0,5. Определение элементов произведем по тому же правилу:

С1 = т 1 С 0 , Rl = R / m 1

С2 = т 2 С 0 , R 2 = R 0 / m 2

СЗ=т 3 С 3 , R 3 = R 0 / m 3 .

Таблица коэффициентов выглядит следующим образом.

Таблица 2

Порядок фильтра
		Фильтр Бесселя






		Фильтр Баттерворта






		Фильтр Чебышева (1 дБ)

Порядок фильтра надо определить расчетным путем, задавшись отношением U BU /U BX на частоте f вне полосы пропускания при известной граничной частоте f гр. Для фильтpa Баттерворта существует зависимость

откуда можно найти n, округляя его до целого числа в большую сторону. Если порядок велик, надо перейти к фильтру Чебышева, если мал, то следует оценить возможность использования фильтра Бесселя, в наименьшей степени искажающего полезный сигнал в полосе пропускания и обладающего линейной фазовой характеристикой.

Реализация фильтров четного порядка осуществляется путем каскадного включения нескольких звеньев второго порядка. Если требуемая сумма порядков звеньев является нечетной, то при расчете фильтров индексы т 1 , т г, т 3 относятся к одному звену третьего порядка, а остальные - к звеньям второго порядка. Для лучшего подавления шумов каскады включают по мере возрастания добротности Q 0 = 0,33 (C1/C2) -2 для ФНЧ - звена второго порядка, т. е. начиная с последних звеньев, если следовать табл. 2.

Укажем расчетные значения добротности Q o звеньев с наибольшими резонансными свойствами фильтров шестого порядка Бесселя, Баттерворта, Чебышева с неравномерностью 1 дБ и 2 дБ:

Q o = 1,023; 1,932; 8,004; 10,462.

Эти величины уменьшаются, если ОУ имеет конечный коэффициент усиления К:

Q = Q о /(1 + 3 Q 2 о / K ).

Следовательно, необходимо обеспечить на граничной частоте фильтра К > 3Q 2 o , иначе характеристика фильтра в полосе задерживания будет отличаться в худшую сторону. Нетрудно подсчитать для звена фильтра Чебышева шестого порядка с неравномерностью 2 дБ: К > 328,4. На стандартном ОУ К14ОУД7 с частотой единичного усиления до 1 МГц такое звено обеспечит десятипроцентную погрешность добротности на частоте 10 6 /328,4 = 304,5 Гц. Применяя скоростные ОУ, можно отодвинуть ЭТ У границу в область более высоких частот.

Для иллюстрации на рис. 4 приведено сравнение характеристик трех фильтров нижних частот шестого по-Рядка с характеристикой затухания RC-цепи. Все устройства имеют одно и то же значение f гр.

Полосовой активный фильтр можно построить на одном ОУ по схеме рис. 5. Рассмотрим числовой пример. Пусть необходимо построить селективный фильтр с резонансной частотой f 0 - 10 Гц и добротностью Q ~ 100.

Рис. 4. Сравнение характеристик ФНЧ шестого порядка:

1 - фильтр Бесселя, 2 - фильтр Еаттер-ворта; 3 - фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ)

Рис. 5. Полосовой фильтр

Его полоса находится в пределах 9,95…10,05 Гц. На рг-зонансиой частоте коэффициент передачи В о = 10. Зададим емкость конденсатора С = 1 мкФ. Тогда по формулам для рассматриваемого фильтра:

Рис. 6. Полосно-пропускающий фильтр Рис. 7. Активный фильтр второго порядка

Устройство остается работоспособным, если исключить R3 и использовать ОУ с усилением, точно равным 2Q 2 . Но тогда добротность зависит от свойств ОУ и будет нестабильна. Поэтому коэффициент усиления ОУ на резонансной частоте должен значительно превышать 2Q 2 = 20 000 на частоте 10 Гц. Если усиление ОУ превышает 200 000 на частоте 10 Гц, можно увеличить R3 на 10 %, чтобы добиться расчетного значения добротности. Не всякий ОУ имеет на частоте 10 Гц усиление 20 000, тем более 200 000. Например, ОУ К14ОУД7 не подходит для такого фильтра; потребуется КМ551УД1А (Б).

Используя ФНЧ и ФВЧ, включенные каскадно, получают полосно-пропускающий фильтр (рис. 6). Крутизна склонов характеристики такого фильтра определяется порядком выбранных ФНЧ и ФВЧ. Осуществляя разнос граничных частот высокодобротных ФВЧ и ФНЧ, можно расширить полосу пропускания, но при этом ухудшается равномерность коэффициента передачи в пределах полосы. Представляет интерес получить плоскую амплитудно-частотную характеристику в полосе пропускания.

Взаимная расстройка нескольких резонансных полосовых фильтров (ПФ), каждый из которых может быть построен по схеме рис. 5, дает плоскую частотную характеристику с одновременным увеличением избирательности. При этом выбирают одну из известных функций для реализации заданных требований к частотной характеристике, а затем преобразуют НЧ-функцию в полосно-пропускаю-щую для определения добротности Q p и резонансной частоты f p каждого звена. Звенья включают последовательно, причем неравномерность характеристики в полосе пропускания и избирательность улучшаются с увеличением числа каскадов резонансных ПФ.

Для упрощения методики создания каскадных ПФ в табл. 3 представлены оптимальные значения полосы частот Аf р (по уровню - 3 дБ) и средней частоты f р резонансных звеньев, выраженные через общую полосу частот Аf (по уровню - 3 дБ) и среднюю частоту f 0 составного фильтра.

Точные значения средней частоты и границ по уровню - 3 дБ лучше всего подбирать экспериментально, подстраивая добротность.

На примере ФНЧ, ФВЧ и ПФ мы видели, что требования к коэффициенту усиления или широкополосности ОУ могут быть чрезмерно велики. Тогда следует перейти к звеньям второго порядка на двух или трех ОУ. На рис. 7 представлен интересный фильтр второго порядка, объединяющий в себе функции трех фильтров: с выхода DA1 получим сигнал ФНЧ, с выхода DA2 - сигнал ФВЧ, э с выхода DA3 - сигнал ПФ. Граничные частоты ФНЧ, ф ВЧ и центральная частота ПФ одна и та же. Добротность также одинакова для всех фильтров. При условии С1 = С2 - С, R1 - R2, R3 = R5 = Rб выбираем свободно f rp , Qo, С. Тогда расчет фильтров прост: R1 = R2 = = 1/2пf Г P C, R4=(2Q 0 - 1)R 3. Коэффициент передачи входного сигнала

ФНЧ, ФВЧ: В о = 2 - 1 /Q o в полосе пропускания, ПФ: В o = 2Q 0 - 1 на резонансной частоте.

Все фильтры можно настраивать посредством одновременного изменения R1, R2 или C1, C2. Добротность независимо от этого можно регулировать при помощи R4. Конечность усиления ОУ определяет истинную добротность Q = Qo(1 + 2Q 0 /K).

Таблица 3 Параметры ПФ на каскадах с взаимной расстройкой

Необходимо выбрать ОУ с коэффициентом усиления K> 2Q 0 на граничной частоте. Это условие значительно менее категорично, чем для фильтров на одном ОУ. Следовательно, на трех ОУ сравнительно невысокого качества можно собрать фильтр с лучшими характеристиками.

Полосно-заграждающий (режекторный) фильтр подчас необходим для вырезания узкополосной помехи, например сетевой частоты или ее гармоник. Используя, например, четырехполюсные ФНЧ и ФВЧ Баттерворта с граничными частотами 25 Гц и 100 Гц (рис. 8) и отдельный сумматор на ОУ, получим фильтр на частоту 50 Гц с добротностью Q = 5 и глубиной режекции - 24 дБ. Достоинством такого фильтра является то, что его характеристика в полосе пропускания - ниже 25 Гц и выше 100 Гц - оказывается идеально плоской.

Как и полосовой фильтр, режекторный фильтр можно собрать на одном ОУ. К сожалению, характеристики таких фильтров не отличаются стабильностью. Поэтому рекомендуем применять гираторный фильтр на двух ОУ (рис. 9). Резонансная схема на усилителе DA2 не склонна к генерации. При выборе сопротивлений следует выдержать соотношение R1/R2 = R3/2R4. Установив емкость конденсатора С2, изменением емкости конденсатора С1 можно настроить фильтр на требуемую частоту f 2 о (Гц) = 400/С (мкФ). В небольших пределах добротность можно регулировать подстройкой резистора R5. Используя эту схему, можно получить глубину режекции до 40 дБ, однако амплитуду входного сигнала следует уменьшать чтобы сохранить линейность гиратора на элементе DA2.

В описанных выше фильтрах коэффициент передачи и фазовый сдвиг зависели от частоты входного сигнала. Существуют схемы активных фильтров, коэффициент передачи которых остается постоянным, а фазовый сдвиг зависит от частоты. Такие схемы называют фазовыми фильтрами. Они используются для фазовой коррекции и задержки сигналов без искажений.

Рис. 8. Полосно-заграждающий фильтр

Рис. 9. Режекторный гираторный фильтр

Простейший фазовый фильтр первого порядка показан на рис. 10. На низких частотах, когда емкость конденсатора С не работает, коэффициент передачи равен +1, а на высоких - 1. Изменяется только фаза выходного сигнала. Эта схема с успехом может быть использована как Фазовращатель. Изменяя сопротивление резистора R, можно регулировать на выходе фазовый сдвиг входного синусоидального сигнала.

Рис. 10. Фазовый фильтр первого порядка

Существуют также фазовые звенья второго порядка. Объединяя их каскадно, строят фазовые фильтры высоких порядков. Например, для задержки входного сигнала с частотным спектром 0…1 кГц на время 2 мс требуется фазовый фильтр седьмого порядка, параметры которого определяются по таблицам.

Следует отметить, что любое отклонение номиналов используемых.RC-элементов от расчетных приводит к ухудшению параметров фильтра. Поэтому желательно применять точные или подобранные резисторы, а нестандартные номиналы образовывать параллельным включением нескольких конденсаторов. Электролитические конденсаторы применять не следует. Помимо требований по усилению ОУ должен обладать высоким входным сопротивлением, значительно превышающим сопротивления резисторов фильтра. Если этого обеспечить нельзя, подключите перед входом инвертирующего усилителя повторитель на ОУ.

Отечественная промышленность выпускает гибридные интегральные схемы серии К298, которая включает RС-фильтры верхних и нижних частот шестого порядка на базе усилителей с единичным усилением (повторителей). Фильтры имеют 21 номинал граничной частоты от 100 до 10 000 Гц с отклонением не более ± 3 %. Обозначение фильтров К298ФН1…21 и К298ФВ1…21.

Принципы конструирования фильтров не ограничиваются приведенными примерами. Менее распространены активные R -фильтры без сосредоточенных емкостей и индуктивностей, использующие инерционные свойства ОУ. Предельно высокие значения добротности, вплоть до 1000 на частотах до 100 кГц, обеспечивают синхронные фильтры с коммутируемыми емкостями. Наконец, методами полупроводниковой технологии с зарядовой связью создают активные фильтры на приборах с переносом 3aj ряда. Такой фильтр Еерхних частот 528ФВ1 с граничной частотой 820…940 Гц имеется в составе серии 528; динамический фильтр нижних частот 1111ФН1 является одной из новых разработок.

Литература

Грэм Дж., Тоби Дж., Хьюлсмаи Л. Проектирование и применение операционных усилителей. - М. : Мир, 1974, е. 510.

Марше Ж. Операционные усилители и их применение. - Л. : Энергия, 1974, с. 215.

Гарет П. Аналоговые устройства для микропроцессоров и мини-ЭВМ. - М. : Мир, 1981, с. 268.

Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. - М. : Мир, 1982, с. 512.

Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники, т. 1. - М. : Мир, 1983, с. 598.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Баттерворта 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Чебышева 3 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Чебышева 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Бесселя 3 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фильтр Бесселя 4 порядка

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Произвести анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифрового ФНЧ на АЧХ (изменяя один из коэффициентов b j ). Описать характер изменения ЧХ. Сделать вывод о влиянии изменения одного из коэффициентов на поведение фильтра.

Анализ влияния ошибок задания коэффициентов цифрового ФНЧ на АЧХ проведем на примере фильтра Бесселя 4 порядка.

Выберем величину отклонения коэффициентов ε, равной –1,5%, чтобы максимальное отклонение АЧХ составило около 10%.

АЧХ "идеального" фильтра и фильтров с измененными коэффициентами на величину ε показана на рисунке:

И

з рисунка видно, что наибольшее влияние на АЧХ оказывает изменение коэффициентовb 1 и b 2 , (их величина превышает величину других коэффициентов). Используя отрицательную величину ε, отмечаем, что положительные коэффициенты уменьшают амплитуду в нижней части спектра, а отрицательные – увеличивают. При положительной величине ε, все происходит наоборот.

Проквантовать коэффициенты цифрового фильтра на такое число двоичных разрядов, чтобы максимальное отклонение АЧХ от исходной составляло порядка 10 - 20%. Зарисовать АЧХ и описать характер ее изменения.

Изменяя число разрядов дробной части коэффициентов b j отметим, чтомаксимальное отклонение АЧХ от исходной не превышающее 20% получается приn≥3.

Вид АЧХ при различных n приведен на рисунках:

n =3, максимальное отклонение АЧХ=19,7%

n =4, максимальное отклонение АЧХ=13,2%

n =5, максимальное отклонение АЧХ=5,8%

n =6, максимальное отклонение АЧХ=1,7%

Таким образом, можно отметить, что увеличение разрядности при квантовании коэффициентов фильтра приводит к тому, что АЧХ фильтра все больше стремится к исходной. Однако необходимо отметить, что это усложняет физическую реализуемость фильтра.

Квантование при различных n можно проследить по рисунку:

Tutorial

Краткое введение

Продолжаю спамить писать на тему операционных усилителей. В этой статье постараюсь дать обзор одной из важнейших тем, связанной с ОУ. Итак, добро пожаловать, активные фильтры .

Обзор темы

Возможно, Вы уже сталкивались с моделями RC-, LC- и RLC-фильтров. Они вполне подходят для большинства задач. Но для некоторых целей очень важно иметь фильтры с более плоскими характеристиками в полосе пропускания и более крутыми склонами. Вот тут нам и нужны активные фильтры.
Для освежения в памяти, напомню, какие бывают фильтры:
Фильтр Нижних Частот (ФНЧ) - пропускает сигнал, который ниже определенной частоты (ее еще именуют частотой среза). Википедия
Фильтр Высоких Частот (ФВЧ) - пропускает сигнал выше частоты среза. Википедия
Полосовой Фильтр - пропускает только определенный диапазон частот. Википедия
Режекторный Фильтр - задерживает только определенный диапазон частот. Википедия
Ну еще немного лирики. Посмотрите на амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) ФВЧ. На этом графике ничего интересного пока не ищите, а просто обратите внимание на участки и их названия:

Самые банальные примеры активных фильтров можно подсмотреть в разделе «Интеграторы и дифференциаторы». Но в данной статье эти схемы трогать не будем, т.к. они не очень эффективны.

Выбираем фильтр

Предположим, что Вы уже определились с частотой, которую хотите фильтровать. Теперь нужно определиться с типом фильтра. Точнее нужно выбрать его характеристику. Иными словами, как фильтр будет себя «вести».
Основными характеристиками являются:
Фильтр Баттерворда - обладает самой плоской характеристикой в полосе пропускания, но имеет плавный спад.
Фильтр Чебышева - обладает самым крутым спадом, но у него самые неравномерные характеристики в полосе пропускания.
Фильтр Бесселя - имеет хорошую фазочастотную характеристику и вполне «приличный» спад. Считается лучшим выбором, если нет специфического задания.

Еще немного информации

Предположим, и с этим заданием вы справились. И теперь можно смело приступить к расчетам.
Есть несколько методов расчета. Не будем усложнять и воспользуемся самым простым. А самый простой - это «табличный» метод. Таблицы можно найти в соответствующей литературе. Чтобы Вы долго не искали, приведу из Хоровица и Хилла «Искусство Схемотехники».
Для ФНЧ:

Скажем так, это все Вы могли бы найти и прочитать и в литературе. Перейдем конкретно к проектированию фильтров.

Расчет

В данном разделе попытаюсь кратко «пробежаться» по всем типам фильтров.
Итак, задание # 1 . Построить фильтр низких частот второго порядка с частотой среза 150 Гц по характеристике Баттерворда.
Приступим. Если мы имеем фильтр n-ного четного порядка, это означает, что в нем будет n/2 операционников. В данном задании - один.
Схема ФНЧ:

Для данного типа расчета берется во внимание, что R1 = R2 , C1 = C2 .
Смотрим в табличку. Видим, что К = 1.586 . Это нам пригодится чуть позже.
Для фильтра низких частот справедливо:
, где, разумеется,
- это частота среза.
Сделав подсчет, получаем . Теперь займемся подбором элементов. С ОУ определились - «идеальный» в количестве 1 шт. Из предыдущего равенства можно предположить, что нам не принципиально, какой элемент выбирать «первым». Начнем с резистора. Лучше всего, чтоб его значение сопротивления были в пределах от 2кОм до 500кОм. На глаз, пусть он будет 11 кОм. Соответственно, емкость конденсатора станет равной 0.1 мкФ. Для резисторов обратной связи значение R берем произвольно. Я обычно беру 10 кОм. Тогда, для верхнего значение К возьмем из таблицы. Следовательно, нижний будет иметь значение сопротивления R = 10 кОм, а верхний 5.8 кОм.
Соберем и промоделируем АЧХ.

Задание # 2 . Построить фильтр высоких частот четвертого порядка с частотой среза 800 Гц по характеристике Бесселя.
Решаем. Раз фильтр четвертого порядка, то в схеме будет два операционника. Тут все совсем не сложно. Мы просто каскадно включаем 2 схемы ФВЧ.
Сам фильтр выглядит так:

Фильтр же четвертого порядка выглядит:

Теперь расчет. Как видим, для фильтра четвертого порядка у нас аж 2 значения К . Логично, что первое предназначается для первого каскада, второе - для второго. Значения К равны 1.432 и 1.606 соответсвенно. Таблица была для фильтров низких частот (!). Для расчета ФВЧ надо кое-что изменить. Коэффициенты К остаются такими же в любом случае. Для характеристик Бесселя и Чебышева изменяется параметр
- нормирующая частота. Она будет равна теперь:

Для фильтров Чебышева и Бесселя как для нижних частот, так и для высоких справедлива одна и та же формула:

Учтите, что для каждого отдельного каскада придется считать отдельно.
Для первого каскада:

Пусть С = 0.01 мкФ, тогда R = 28.5 кОм. Резисторы обратной связи: нижний, как обычно, 10 кОм; верхний - 840 Ом.
Для второго каскада:

Емкость конденсатора оставим неизменной. Раз С = 0.01 мкФ, то R = 32 кОм.
Строим АЧХ.

Для создания полосового или режекторного типа фильтров можно каскадно соединить ФНЧ и ФВЧ. Но такими типами, зачастую, не пользуются из-за плохих характеристик.
Для полосовых и режекторных фильтров также можно использовать «табличный метод», но тут немного другие характеристики.
Приведу сразу табличку и немного ее объясню. Чтоб сильно не растягивать - значения взяты сразу для полосового фильтра четвертого порядка.

a1 и b1 - расчетные коэффициенты. Q - добротность. Это новый параметр. Чем значение добротности больше - тем более «резким» будет спад. Δf - диапазон пропускаемых частот, причем выборка идет на уровне -3 дБ. Коэффициент α - еще один расчетный коэффициент. Его можно найти используя формулы, которые довольно легко найти в интернете.
Ну ладно, хватит. Теперь рабочее задание.
Задание # 3 . Построить полосовой фильтр четвертого порядка по характеристике Баттерворда с центральной частотой 10 кГц, шириной пропускаемых частот 1 кГц и коэффициентом усиления в точке центральной частоты равным 1.
Поехали. Фильтр четвертого порядка. Значит два ОУ. Типовую схему приведу сразу с расчтными элементами.

Для первого фильтра центральная частота определяется как:

Для второго фильтра:

Конкретно в нашем случае, опять же из таблицы, определяем, что добротность Q = 10. Рассчитываем добротность для фильтра. Причем, стоит отметить, что добротность обоих будет равна.

Поправка усиления для области центральной частоты:

Финальная стадия - расчет компонентов.
Пусть конденсатор будет равен 10 нФ. Тогда, для первого фильтра:

В том же порядке, что и (1) находим R22 = R5 = 43.5 кОм, R12 = R4 = 15.4 кОм, R32 = R6 = 54.2 Ом. Только учтите, что для второго фильтра используем
Ну и на последок, АЧХ.

Следующая остановка - полосно-заграждающие фильтры или режекторные.
Тут есть несколько вариаций. Наверное, самый простой - это фильтр Вина-Робинсона (англ. Active Wien-Robinson Filter). Типовая схема - тоже фильтр 4го порядка.

Наше последнее задание.
Задание # 4 . Построить режекторный фильтр с центральной частотой 90 Гц, добротностью Q = 2 и коэффициентом усиления в полосе пропускания равным 1.
Прежде всего, произвольно выбираем емкость конденсатора. Допустим, С = 100 нФ.
Определим значение R6 = R7 = R :

Логично, что «играясь» с этими резисторами, мы можем изменять диапазон частот нашего фильтра.
Далее, нам надо определить промежуточные коэффициенты. Находим их через добротность.

Выберем произвольно резистор R2 . В данном конкретном случае, лучше всего, чтобы он равнялся 30 кОм.
Теперь можем найти резисторы, которые будут регулировать коэффициент усиления в полосе пропускания.

И на последок, необходимо произвольно выбрать R5 = 2R1 . У меня в схеме эти резисторы имеют значение 40 кОм и 20 кОм соответственно.
Собственно, АЧХ:

Практически конец

Кому интересно узнать немного больше, могу посоветовать почитать Хоровица и Хилла «Искусство схемотехники».
Также, D. Johnson «A handbook of active filters».

// Что такое порядок фильтра и крутизна среза?

Что такое порядок фильтра и крутизна среза?

Всем привет!

В этом видео отвечаем на вопрос, что такое порядок фильтра и крутизна среза. Смотрим

Для тех кто не может посмотреть видео есть текстовая версия:

Сегодня мы поговорим с вами о том что такое крутизна среза, порядок фильтра и так далее. Вы наверно много раз видели такую запись что ну допустим что в мануале от усилителя что фильтры там 12дб на октаву или 24дб на октаву или что фильтр первого порядка или второго порядка, давайте поговорим с вами о том что же это такое.

Для начала давайте, как вообще работает у нас фильтр в принципе

Т.е. на картинке вы видите ачх, по вертикальной шкале у нас амплитуда в дб по горизонтальной будет частота в гц. Допустим нам надо отрезать какой то диапазон, допустим мидбасове ачх и скажем 80гц и нам надо это дело отрезать и мы режем усилителем или пассивным кроссовером активным кроссовером, процессором, чем угодно. И у нас вот такая ачх получается. Надо понимать что фильтр не отрезает вертикально, что если мы на 80 гц отрезали то ниже ничего не играет – нет играет, каждый фильтр режет c определенной крутизной спада, графически видно что такое крутизна спада.

В цифрах это обозначается:

Есть и более высокие порядки, но они применяются реже, основное это вот это.

Теперь давайте поймем с вами что такое октава и что вообще эта запись означает.

Ну друзья мои, если мы представим с вами, вот наша шкала, изменение частоты в 2 раза это будет октава, 40гц-80гц это октава, от 80 до 160 это октава, от 160 до 320 это октава.

Теперь смотрите что означает данная запись, допустим фильтр первого порядка у нас, 6дб/октаву, допустим у нас сигнал там 120дб, то мы берем октаву вниз и получается на 40гц у нас будет на 6дб ниже, т.е. будет 114дб. Таким образом отрезал фильтр первого порядка. Если мы режем фильтром второго порядка, то здесь у нас будет – 12дб, т.е. будет 108 дб. Чтобы понять много это или мало и на сколько серьезно отрезает фильтр надо просто представить себе что 3 дб это в 2 раза, 6 дб от исходного это в 4 раза ну и так далее. Т.е. даже фильтр 6 дб на октаву делает звук на октаву ниже в 4 раза тише. Т.е. надо понимать чем выше порядок фильтра тем сильнее отрезает, тем более жестко отрезает фильтр все что лежит в пределах действия этого фильтра. Ну т.е. если это у нас хай пасс фильтр как здесь т.е. то что отрезает снизу это значит что все что ниже он отрезает с определенной крутизной среза. Если мы говорим о лоу пассе т.е. фильтр который режет сверху значит все что выше оно отрезается абсолютно по тем же законам. Какие фильтры куда применяются, как это используется, какие есть плюсы и минусы и недостатки у каждого фильтра, обо всем этом мы говорим в интенсиве «автозвук от А до Я» который у нас уже совсем скоро будет, приходите туда и там вы узнаете все на много подробнее, а для такого вот обзорного видео я думаю достаточно. На этом все, с вами был Сергей Туманов, если видео было вам полезно ставьте пальцы вверх, подписывайтесь на наш канал, делитесь этим видео с друзьями и приходите на наш интенсив, буду рад вас всех видеть. Всем пока, увидимся!

6.5.2.1. Фильтры нижних частот.

Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов.

Пассивные фильтры нижних частот первого порядка

На рис.2.25 изображена схема простого RС-фильтра нижних частот первого порядка. Коэффициент передачи в комплексном виде может быть выражен формулой:

. (2.45)
Рис. 2.25 Отсюда получим формулы для АЧХ и ФЧХ

, . (2.46)

Положив получим выражение для частоты среза ωСР

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет – 450 .
| К | = 1 = 0 дБ на нижних частотах f << f C Р .
На высоких частотах f >> fС Р согласно формуле (2.46), | К | ≈ 1/ (ωRC),
т.е. коэффициент передачи обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на 20 дБ на декаду или на 6 дБ на октаву. | К | = 1/√2 = -ЗдБ при f = fСР .
Для более быстрого уменьшения коэффициента передачи можно включить n фильтров нижних частот последовательно. При последовательном соединении нескольких фильтров нижних частот частота среза приближенно определяется как

. (2.48)

Для случая n фильтров с равными частотами среза

При частоте входного сигнала f ВХ >> f СР для схемы (рис. 2.25) получим

. (2.50)

Из 2.50 видно, что ФНЧ может выступать как интегрирующее звено.
Для переменного напряжения, содержащего постоянную составляющую выходное напряжение можно представить в виде

, (2.51)

Где - среднее значение
Фильтр нижних частот может выступать в качестве детектора средних значений.
Для реализации общего подхода к описанию фильтров необходимо нормировать комплексную переменную р.

. (2.52)

Для фильтра рис. 2.25 получим Р = р RC и

Использую передаточную функцию для оценки амплитуды выходного сигнала от частоты, получим

. (2.54)

Передаточная функция ФНЧ в общем виде может быть записана в виде

, (2.55)

Где с1 , с2 ,…, с n – положительные действительные коэффициенты.
Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной Р. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные, в этом случае следует записать полином в виде произведения сомножителей второго порядка

Где а i и bi – положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков полинома коэффициент b 1 равен нулю.

Активные фильтры нижних частот первого порядка

Простой фильтр, изображенный на рис. 2.26, обладает недостатком: свойства фильтра зависят от нагрузки. Для устранения этого недостатка фильтр необходимо дополнить преобразователем полного сопротивления. Схема фильтра с преобразователем полного сопротивления показана на рис. 2.27. Коэффициент передачи постоянного сигнала может быть задан выбором значений резисторов R2 и R3.

Для упрощения схемы ФНЧ можно использовать RC- цепь для обратной связи операционного усилителя. Подобный фильтр показан на рис. 2.27.

Рис. 2.26 Рис. 2.27

Передаточная функция фильтра (рис. 2.27) имеет вид

. (2.58)

Для расчета фильтра необходимо задать частоту среза f СР (ω СР ), коэффициент передачи постоянного сигнала К0 (для схемы на рис. 2.27 он должен быть задан со знаком минус) и емкость конденсатора С1. Приравняв коэффициенты полученной передаточной функции коэффициентам выражения 2.56 для фильтра первого порядка, получим

и . (2.59)

Пассивный фильтр нижних частот второго порядка

На основании выражения (2.56) запишем в общем виде передаточную функцию ФНЧ второго порядка

. (2.60)

Такая передаточная функция не может быть реализована с помощью пассивных RC-цепей. Подобный фильтр может быть реализован с применением индуктивностей. На рис. 2.28 показана схема пассивного ФНЧ второго порядка.
Передаточная функция фильтра имеет вид
. (2.61)
Рассчитать фильтр можно, воспользовавшись формулами
Рис. 2.28
и . (2.62)
Например, для ФНЧ второго порядка типа Баттерворта с коэффициентами а1 = 1,414 и b 1 = 1,000, задав частоту среза f СР = 10 Гц и емкость С = 10мкФ, из (2.62) получим R = 2,25 кОм и L = 25,3 Гн.
Подобные фильтры неудобны для реализации из-за слишком большой индуктивности. Заданную передаточную функцию можно реализовать с помогщью операционного усилителя с соответствующими RC – цепями, что позволяет исключить индуктивности.

Активные ФНЧ второго порядка

Примером активного ФНЧ второго порядка является фильтр со сложной отрицательной обратной связью, схема которого показана на рис. 2.29.
Передаточная функция данного фильтра имеет вид