Schemat połączeń, przeznaczony do wykonywania dowolnej operacji logicznej na danych wejściowych, nazywany jest elementem logicznym. Dane wejściowe są tu reprezentowane w postaci napięć o różnych poziomach, a wynik operacji logicznej na wyjściu jest również uzyskiwany w postaci napięcia o określonym poziomie.
Argumenty w tym przypadku są zasilane - sygnały są odbierane na wejściu elementu logicznego w postaci wysokiego lub niskiego poziomu napięcia, które zasadniczo służą jako dane wejściowe. Tak więc napięcie wysokiego poziomu - logiczne - wskazuje prawdziwą wartość operandu, a napięcie niskiego poziomu 0 - wartość fałszywą. 1 - PRAWDA, 0 - FAŁSZ.
Element logiczny- element realizujący pewne logiczne zależności między sygnałami wejściowymi i wyjściowymi. Elementy logiczne są zwykle wykorzystywane do budowy obwodów logicznych komputerów, dyskretnych obwodów automatycznego sterowania i zarządzania. Dla wszystkich typów elementów logicznych, niezależnie od ich fizycznego charakteru, charakterystyczne są wartości dyskretne sygnałów wejściowych i wyjściowych.
Elementy logiczne mają jedno lub więcej wejść i jedno lub dwa (zwykle odwrotnie do siebie) wyjścia. Wartości „zer” i „jedynek” sygnałów wyjściowych elementów logicznych są określone przez funkcję logiczną, którą wykonuje element, oraz wartości „zer” i „jedynek” sygnałów wejściowych, które odgrywają rola zmiennych niezależnych. Są elementarne funkcje logiczne, z którego można skomponować dowolną złożoną funkcję logiczną.
W zależności od konstrukcji obwodu elementu, od jego parametrów elektrycznych, poziomy logiczne (wysokie i niskie poziomy napięcia) wejścia i wyjścia mają takie same wartości dla stanów wysokich i niskich (prawda i fałsz).
Tradycyjnie elementy logiczne produkowane są w postaci specjalnych komponentów radiowych – układów scalonych. Operacje logiczne, takie jak koniunkcja, alternatywa, negacja i dodawanie modulo (AND, OR, NOT, exclusive OR) to główne operacje wykonywane na elementach logicznych typów podstawowych. Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z tych elementów logicznych.
Element logiczny "AND" - koniunkcja, mnożenie logiczne, AND
"AND" - element logiczny, który wykonuje operację łączenia lub mnożenia logicznego na danych wejściowych. Ten element może mieć od 2 do 8 (najczęściej w produkcji są to elementy „AND” z 2, 3, 4 i 8 wejściami) wejść i jedno wyjście.
Na rysunku pokazano symbole elementów logicznych „AND” o różnej liczbie wejść. W tekście element logiczny „AND” z jedną lub inną liczbą wejść jest oznaczony jako „2I”, „4I” itd. - element „AND” z dwoma wejściami, z czterema wejściami itd.
Tabela prawdy dla elementu 2I pokazuje, że wyjście elementu będzie jednostką logiczną tylko wtedy, gdy logiczne są jednocześnie na pierwszym wejściu ORAZ na drugim wejściu. W pozostałych trzech możliwych przypadkach wyjście będzie wynosić zero.
W zachodnich schematach ikona elementu „I” ma linię prostą przy wejściu i zaokrąglenie przy wyjściu. Na schematach domowych - prostokąt z symbolem „&”.
Element logiczny „OR” - alternatywa, dodawanie logiczne, OR
"LUB" - element logiczny, który wykonuje operację alternatywy lub logicznego dodawania na danych wejściowych. Podobnie jak element „AND” dostępny jest z dwoma, trzema, czterema itd. wejściami i jednym wyjściem. Na rysunku pokazano symbole elementów logicznych „LUB” o różnej liczbie wejść. Elementy te są oznaczone następująco: 2OR, 3OR, 4OR itd.
Z tabeli prawdy dla elementu „2OR” wynika, że do pojawienia się jednostki logicznej na wyjściu wystarczy, że jednostka logiczna znajduje się na pierwszym wejściu OR na drugim wejściu. Jeśli logiczne są jednocześnie na dwóch wejściach, wyjście również będzie jedno.
W schematach zachodnich ikona elementu „LUB” ma zaokrąglone wejście i zaokrąglone, spiczaste wyjście. Na schematach domowych - prostokąt z symbolem „1”.
Element logiczny „NOT” - negacja, falownik, NIE
„NIE” – element logiczny, który wykonuje operację logicznej negacji na danych wejściowych. Ten element, który ma jedno wyjście i tylko jedno wejście, nazywany jest również falownikiem, ponieważ w rzeczywistości odwraca (odwraca) sygnał wejściowy. Rysunek przedstawia symbol elementu logicznego „NIE”.
Tabela prawdy dla falownika pokazuje, że wysoki potencjał wejściowy daje niski potencjał wyjściowy i odwrotnie.
W schematach zachodnich ikona elementu „NIE” ma kształt trójkąta z kołem przy wyjściu. Na schematach domowych - prostokąt z symbolem „1”, z kółkiem przy wyjściu.
Element logiczny "AND-NOT" - koniunkcja (mnożenie logiczne) z negacją, NAND
"AND-NOT" - element logiczny, który wykonuje operację logicznego dodawania na danych wejściowych, a następnie logiczną operację negacji, której wynik jest wyprowadzany. Innymi słowy, jest to zasadniczo element „AND”, uzupełniony elementem „NIE”. Rysunek przedstawia symbol elementu logicznego „2I-NOT”.
Tabela prawdy dla elementu „NAND” jest przeciwieństwem tabeli dla elementu „AND”. Zamiast trzech zer i jednego - trzy jedynki i zero. Element „NAND” jest również nazywany „elementem Schaeffera” na cześć matematyka Henry'ego Maurice'a Schaeffera, który jako pierwszy zauważył znaczenie tego w 1913 roku. Oznaczony jako „I”, tylko z kółkiem przy wyjściu.
Element logiczny „OR-NOT” - alternatywa (dodanie logiczne) z negacją, NOR
"LUB-NIE" - element logiczny, który wykonuje operację logicznego dodawania na danych wejściowych, a następnie operację logicznej negacji, której wynik jest wyprowadzany. Innymi słowy jest to element „LUB”, uzupełniony elementem „NIE” - falownikiem. Rysunek przedstawia symbol elementu logicznego „2OR-NOT”.
Tabela prawdy dla elementu „OR-NOT” jest przeciwieństwem tabeli dla elementu „OR”. Wysoki potencjał na wyjściu uzyskuje się tylko w jednym przypadku – oba wejścia zasilane są jednocześnie niskimi potencjałami. Określany jako „LUB”, tylko z kółkiem na wyjściu wskazującym na inwersję.
Element logiczny "exclusive OR" - dodatek modulo 2, XOR
"XOR" - element logiczny, który wykonuje operację logicznego dodawania modulo 2 na danych wejściowych, posiada dwa wejścia i jedno wyjście. Często te elementy są używane w schematach sterowania. Rysunek przedstawia symbol tego elementu.
Obraz w schematach zachodnich jest jak "OR" z dodatkowym zakrzywionym paskiem po stronie wejściowej, w krajowym - jak "LUB", tylko zamiast "1" zostanie napisane "=1".
Ten logiczny element nazywany jest również „nierównowagą”. Wysoki poziom napięcia będzie na wyjściu tylko wtedy, gdy sygnały na wejściu nie będą równe (na jednej jednostce, na drugiej zero lub na jednym zero, a na drugiej) nawet jeśli na wejściu są dwie jednostki w tym samym czasie wyjście będzie wynosić zero - jest to różnica od "LUB". Te elementy logiczne są szeroko stosowane w adderach.
Sekcje: Informatyka
Obecnie na egzaminach wstępnych z informatyki jest wiele zadań na temat „algebry logiki”. Celem tej lekcji jest utrwalenie umiejętności rozwiązywania zadań USE w informatyce z wykorzystaniem elementów algebry logiki.
Cele Lekcji:
Cele Lekcji:
Podczas zajęć
Dzisiaj kończymy temat „Podstawy logiki” i zastosujemy podstawowe operacje logiczne, prawa transformacji do rozwiązywania zadań USE w informatyce.
Lekcja idzie w parze z prezentacją.<Приложение1>
1. Powtórzenie operacji logicznych i praw.
Algebra logiki to gałąź logiki matematycznej, która bada strukturę złożonych zdań logicznych i sposoby ustalania ich prawdziwości za pomocą metod algebraicznych.
1. Twórca logiki formalnej?
Arystotelesa.
2. Twórca algebry logiki?
Jerzego Byka.
3. Wypisz operacje logiczne:
¬ negacja (inwersja)
&, /\koniunkcja („ORAZ”)
V alternatywa („LUB”)
logiczna konsekwencja (implikacja)
równoważność (równoważność)
4. Jakie jest znaczenie prawa podwójnej negacji?
Podwójna negacja wyklucza negację.
5. Prawa de Morgana (prawa inwersji ogólnej).
Negacja alternatywy jest koniunkcją negacji:
¬(A V B) = ¬A /\ ¬B
Negacja koniunkcji jest alternatywą negacji:
¬(A /\B) = ¬A V ¬B
6. Prawo idempotencji (jednakowość).
7. Jakie jest znaczenie prawa o wyłączeniu trzeciego?
Spośród dwóch sprzecznych stwierdzeń o tym samym, jedno jest zawsze prawdziwe, drugie fałszywe, trzecie nie jest podane:
8. Na czym polega prawo sprzeczności?
Zdanie i jego zaprzeczenie nie mogą być jednocześnie prawdziwe:
9. Prawo wykluczenia stałych.
Dla logicznego dodawania:
A V 1 = 1 A V 0 = A
Dla mnożenia logicznego:
A /\ 1 = A A /\ 0 = 0
10. Jak wyrazić implikację poprzez alternatywę?
A B = ¬A V B
2. Zastosowanie operacji i praw logicznych w praktyce.
Przykład 1. ( Wersja demonstracyjna zadania A11 2004)
Dla jakiej nazwy jest prawdziwe stwierdzenie:
¬ (Pierwsza litera imienia to samogłoska -> Czwarta litera imienia to spółgłoska)?
Rozwiązanie. Zdanie złożone składa się z dwóch prostych zdań:
A - pierwsza litera imienia to samogłoska,
B to czwarta litera nazwy spółgłoski.
¬ (A B) = ¬ (¬A V B) = (¬ (¬A) /\ ¬B) = A /\ ¬B
Obowiązujące formuły:
1. Implikacja przez alternatywę A? V = ¬A V V
2. Prawo De Morgana ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B
3. Prawo podwójnej negacji.
(Pierwsza litera imienia to samogłoska /\ Czwarta litera imienia to samogłoska)
Przykład 2. ( Zadanie A12 demo 2004)
Jakie wyrażenie logiczne jest równoważne wyrażeniu ¬ (A \/ ¬B)?
Rozwiązanie. ¬ (A \/ ¬B)= ¬ A \/ ¬ (¬B)= ¬ A \/ B
Utwórz tabelę prawdy dla wzoru
¬ (B /\C) V (A/\C B)
Kolejność wykonywania operacji logicznych:
¬ (B /\C) V (A/\C B)
Zrób tabelę prawdy.
Ile rzędów będzie miał Twój stół? 3 zmienne: A, B, C; 2 3 = 8
Ile kolumn? 5 operacji + 3 zmienne = 8
| A | b | C | (PNE) | ¬(B/\C) | A/\C | (A/\C ? B) | ¬ (B/\C) V (A/\Cb) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Jakie są odpowiedzi w ostatniej kolumnie?
identycznie prawdziwe, jeśli przyjmuje wartości 1 na wszystkich zawartych w nim kolekcjach prostych propozycji. Formuły identycznie prawdziwe nazywają się tautologie.
Rozwiążmy ten przykład analitycznie:
uproszczenie wyrażenia
¬ (B /\ C) V (A/\C B)= (użyj wzoru implikacji)
¬ (B /\ C) V ¬ (A / \ C) V B = (stosujemy 1 i 2 prawa de Morgana)
(¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B = (usuń nawiasy)
¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B= (stosujemy prawo przesunięcia)
¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A = (prawo eliminacji środka, prawo idempotencji)
1 V ¬C V ¬A = 1 V ¬A = 1 (prawo stałego wykluczenia)
Odpowiedź: 1 oznacza, że formuła jest identycznie prawdziwa lub jest tautologią.
Wyrażenie logiczne nazywa się identycznie fałszywe, jeśli przyjmuje wartości 0 na wszystkich zawartych w nim kolekcjach prostych propozycji.
(zadanie 3 praca domowa)
W tabeli przedstawiono zapytania do serwera wyszukiwania. Uporządkuj oznaczenia zapytań w kolejności rosnącej według liczby stron, które wyszukiwarka znajdzie dla każdego zapytania.
Symbol I służy do wskazania logicznej operacji „LUB” w zapytaniu, a symbol & służy do logicznej operacji „AND”.
Pierwszy sposób opiera się na rozumowaniu. Logicznie widzimy, że najwięcej stron zostanie znalezionych dla zapytania G, ponieważ po jego wykonaniu zostaną znalezione strony ze słowem „prawa”, strony ze słowem „fizyka” i strony ze słowem „biologia” . Najmniej stron zostanie znalezionych dla zapytania B, ponieważ zawiera ono wszystkie cztery słowa z przeszukiwanej strony. Pozostaje porównanie zapytań A i B. Przy zapytaniu B zostaną znalezione wszystkie strony odpowiadające zapytaniu A (ponieważ to ostatnie musi zawierać słowo „prawa”), a także strony zawierające słowa „fizyka” i „biologia” pod adresem o tym samym czasie. W związku z tym zapytanie B znajdzie więcej stron niż zapytanie A. Tak więc, porządkując zapytania w kolejności rosnącej stron, otrzymujemy VABG.
Odpowiedź: WABG.
Druga metoda polega na użyciu graficznej reprezentacji operacji na zbiorach. (Zobacz prezentację)
Przykład 5. ( Zadanie A16 demo 2006)
Poniżej w formie tabelarycznej fragment bazy danych o wynikach badań uczniów (stosowana jest stupunktowa skala)
| Nazwisko | Podłoga | Matematyka | Język rosyjski | Chemia | Informatyka | Biologia |
| Aganian | dobrze | 82 | 56 | 46 | 32 | 70 |
| Woronin | m | 43 | 62 | 45 | 74 | 23 |
| Grigorczuk | m | 54 | 74 | 68 | 75 | 83 |
| Rodnina | dobrze | 71 | 63 | 56 | 82 | 79 |
| Siergiejenko | dobrze | 33 | 25 | 74 | 38 | 46 |
| Czerepanow | dobrze | 18 | 92 | 83 | 28 | 61 |
Ile rekordów w tym fragmencie spełnia warunek
„Płeć='m” LUB Chemia>Biologia”?
Wybieramy rekordy: Chłopcy (dwóch) i Chemia> Biologia (trzech, ale jeden chłopiec, już wziął 1 raz). W rezultacie 4 rekordy spełniają warunek.
Zadanie 6. ( Wersja demonstracyjna zadania B4 2007)
W szkolnych mistrzostwach tenisa stołowego w pierwszej czwórce znalazły się dziewczyny: Natasza, Masza, Luda i Rita. Najzagorzalsi fani wyrazili swoje przypuszczenia na temat rozmieszczenia miejsc w przyszłych zawodach.
Wierzy się, że Natasza będzie pierwsza, a Masza druga.
Kolejny kibic postawi Ludę na drugim miejscu, a Rita, jego zdaniem, na czwartej.
Trzeci fan tenisa nie zgodził się z nimi. Wierzy, że Rita zajmie trzecie miejsce, a Natasza drugie.
Jakie miejsce w mistrzostwach zajęły Natasza, Masza, Luda, Rita?
(W swojej odpowiedzi wypisz w rzędzie bez spacji liczby odpowiadające miejscom dziewcząt w podanej kolejności imion.)
Oznaczmy stwierdzenia:
Н1 = „Natasza będzie pierwsza”;
M2 = „druga będzie Masza”;
L2 = „drugi będzie Luda”;
P4 = „czwarta będzie Rita”;
P3 = „trzecia będzie Rita”;
Н2 = „drugą będzie Natasza”.
Zgodnie z warunkiem:
z wypowiedzi 1 fana wynika, że H1VM2 jest prawdą;
z wypowiedzi fanów2 wynika, że R2VP4 jest prawdziwe;
z twierdzeń wentylatora 3 wynika, że P3VH2 jest prawdą.
Dlatego spójnik też jest prawdziwy
(H1VM2) /\ (L2VP4) /\ (P3VH2) = 1.
Otwierając nawiasy otrzymujemy:
(N1VM2) /\ (L2VP4) /\ (P3VN2) = (N1/\L2V H1/\P4 V M2/\L2 V M2/\P4) /\ (P3VN2)=
H1/\ L2/\P3 V H1/\P4/\P3 V M2/\L2/\P3 V M2/\P4/\P3 V H1/\L2/\H2 V H1/\P4/\H2 V M2/ \L2/\H2 V M2/\P4/\H2 =H1/\ L2/\P3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V= H1/\ L2/\P3
Natasza-1, Luda-2, Rita-3 i Masza-4.
Odpowiedź: 1423
3. Wyjaśnienie pracy domowej.
Ćwiczenie 1. ( Wersja demonstracyjna zadania B8 2007)
W tabeli przedstawiono zapytania do serwera wyszukiwania. Uporządkuj oznaczenia zapytań w kolejności rosnącej według liczby stron, które wyszukiwarka znajdzie dla każdego zapytania.
Dla oznaczenia operacji logicznej „OR” w zapytaniu używany jest symbol |, a dla operacji logicznej „AND” - &.
Zadanie 2 ( Wersja demonstracyjna zadania B4 2008)
Przed rozpoczęciem Turnieju Czterech fani przyjęli następujące założenia dotyczące swoich idoli:
A) Max wygrywa, Bill drugi;
B) Bill jest trzeci. Nick jest pierwszy;
C) Max jest ostatnim, a pierwszym jest John.
Po zakończeniu konkursu okazało się, że każdy z kibiców miał rację tylko w jednej ze swoich prognoz.
Jakie miejsce w turnieju zajęli John, Nick, Bill, Max?
(W swojej odpowiedzi wypisz w rzędzie bez spacji miejsca uczestników w określonej kolejności nazw.)
Zapytania wyszukiwania służą do szybkiego wyszukiwania informacji w Internecie. Zapytanie wyszukiwania to zestaw słów kluczowych połączonych operatorami logicznymi AND, OR, NOT.
Priorytet operacji, jeśli nie ma specjalnie umieszczonych nawiasów, jest następujący: najpierw NOT, potem AND, potem OR.
Musisz zrozumieć, że operacja AND (jednoczesne spełnienie warunków) zmniejsza głośność wyniku, a operacja OR (spełnienie przynajmniej jednego z warunków) wręcz przeciwnie, zwiększa głośność.
Jeśli zapytanie zawiera frazę w cudzysłowie, system wyszuka dokładnie tę frazę w całości.
1. Rozmieszczenie zapytań w porządku rosnącym (malejącym)
Operacja AND (&) oznacza jednoczesną obecność słów kluczowych w przeszukiwanych dokumentach, a tym samym zmniejsza ilość znalezionych informacji. Im więcej słów kluczowych jest powiązanych z operacją AND, tym mniej informacji zostanie znalezionych. I odwrotnie, operacja OR (|) wskazuje na obecność co najmniej jednego słowa kluczowego w przeszukiwanych dokumentach, a tym samym zwiększa ilość znalezionych informacji.
Przykład 1
W tabeli przedstawiono zapytania do serwera wyszukiwania. Ułóż oznaczenia zapytań w porządku rosnącym według liczby stron, które wyszukiwarka znajdzie dla każdego zapytania.
A) streszczenie | matematyka | Gaus
B) streszczenie | matematyka | Gauss | metoda
B) streszczenie | matematyka
D) streszczenie i matematyka i Gauss
Rozwiązanie:
Najmniejsza liczba stron zostanie wybrana dla zapytania z największą liczbą AND (zapytanie D). Największa liczba stron zostanie wybrana dla zapytania z największą liczbą OR (zapytanie B). Zapytanie A wybierze więcej stron niż zapytanie B, ponieważ zapytanie A zawiera więcej słów kluczowych połączonych operacją „LUB”.
Odpowiedź: GVAB
2. Zliczanie stron znalezionych przez zapytanie
Ten typ problemu jest zwykle rozwiązywany za pomocą układu równań. Zaproponuję bardziej wizualny i prostszy sposób.
Zasadę selekcji informacji w zapytaniach wyszukiwania dobrze ilustruje diagram Eulera-Venna (koła Eulera). Na diagramie zbiory są reprezentowane przez przecinające się koła. Operacja AND (&) to część wspólna okręgów, a operacja OR (|) to suma okręgów.
Na przykład kółkami oznaczamy zestawy jabłek, gruszek, bananów. Zapytanie Jabłka & Gruszki & Banany wybierze część wspólną (część wspólną) wszystkich trzech okręgów:
Na życzenie Jabłka | Gruszka zostanie wybrana przez połączenie dwóch kółek:
Przykład 2
W tabeli przedstawiono zapytania i liczbę stron, które serwer wyszukiwania znalazł dla tych zapytań w określonym segmencie Internetu:
Ile stron (w tysiącach) znajdzie się w szachach?
Rozwiązanie:
Narysujmy diagram Eulera-Venna. Rozwiązanie problemu polega na policzeniu ilości stron odpowiadających każdemu obszarowi ograniczonemu liniami:
Zapytanie szachy i tenis odpowiada obszarowi środkowemu (1000 tys. stron), podczas gdy zapytanie tenis odpowiada całemu prawemu okręgowi (5500 tys. stron).
Wtedy prawe „przycięte koło” to 5500-1000=4500:
Prośba o szachy | tenis pasuje do obu kręgów (7770), następnie lewe „obcięte koło” to 7770-5500=2270
Koniunkcja lub mnożenie logiczne (w teorii mnogości jest to przecięcie)
Spójnik to złożone wyrażenie logiczne, które jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba proste wyrażenia są prawdziwe. Taka sytuacja jest możliwa tylko w jednym przypadku, we wszystkich pozostałych spójnik jest fałszywy.
Oznaczenie: &, $\wedge$, $\cdot$.
Tabela prawdy dla koniunkcji
Obrazek 1.
Właściwości koniunkcji:
Rozłączenie to złożone wyrażenie logiczne, które prawie zawsze jest prawdziwe, z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie wyrażenia są fałszywe.
Oznaczenie: +, $\vee$.
Tabela prawdy dla alternatywy
Rysunek 2.
Właściwości alternatywy:
Negacja - oznacza, że do oryginalnego wyrażenia logicznego dodawana jest cząstka NIE lub słowo NIEPRAWIDŁOWE, KTÓRE w rezultacie otrzymujemy, że jeśli oryginalne wyrażenie jest prawdziwe, to negacja oryginalnego będzie fałszywa i odwrotnie, jeśli oryginalne wyrażenie jest fałszywe, to jego negacja będzie prawdziwa.
Notacja: nie $A$, $\bar(A)$, $¬A$.
Tabela prawdy dla inwersji
Rysunek 3
Właściwości negatywne:
„Podwójna negacja” $¬¬A$ jest konsekwencją zdania $A$, to znaczy jest tautologią w logice formalnej i jest równa samej wartości w logice Boole'a.
Implikacja to złożone wyrażenie logiczne, które jest prawdziwe we wszystkich przypadkach, z wyjątkiem sytuacji, gdy prawda implikuje fałsz. Oznacza to, że ta logiczna operacja łączy dwa proste wyrażenia logiczne, z których pierwsze jest warunkiem ($A$), a drugie ($A$) jest konsekwencją warunku ($A$).
Notacja: $\to$, $\Strzałka w prawo$.
Tabela prawdy do implikacji
Rysunek 4
Właściwości implikacji:
Równoważność to złożone wyrażenie logiczne, które jest prawdziwe dla równych wartości zmiennych $A$ i $B$.
Oznaczenia: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Tabela prawdy dla równoważności
Rysunek 5
Właściwości równoważne:
Ścisła alternatywa jest prawdziwa, jeśli wartości argumentów nie są równe.
W przypadku elektroniki oznacza to, że realizacja obwodów jest możliwa przy użyciu jednego typowego elementu (choć jest to kosztowny element).
Aby zmienić określoną kolejność wykonywania operacji logicznych, należy użyć nawiasów.
W przypadku zestawu wartości logicznych $n$ istnieją dokładnie 2^n$ wartości odrębne. Tabela prawdy dla Wyrażenie logiczne zmiennych $n$ zawiera $n+1$ kolumn i $2^n$ wierszy.
1.1. Notacja dla spójników logicznych (operacji):
a) negacja(inwersja, logiczne NIE) jest oznaczone przez ¬ (na przykład ¬A);
b) spójnik(mnożenie logiczne, logiczne AND) jest oznaczone przez /\
(na przykład A /\ B) lub & (na przykład A & B);
C) dysjunkcja(dodanie logiczne, logiczne LUB) jest oznaczone \/
(na przykład A \/ B);
D) Następny(implikacja) jest oznaczana przez → (np. A → B);
mi) tożsamość oznaczony przez ≡ (na przykład A ≡ B). Wyrażenie A ≡ B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wartości A i B są takie same (albo oba są prawdziwe, albo oba są fałszywe);
f) symbol 1 służy do oznaczenia prawdy (stwierdzenie prawdziwe); symbol 0 - oznaczający kłamstwo (fałszywe stwierdzenie).
1.2. Nazywane są dwa wyrażenia logiczne zawierające zmienne równowartość (odpowiednik) jeśli wartości tych wyrażeń są takie same dla dowolnych wartości zmiennych. Tak więc wyrażenia A → B i (¬A) \/ B są równoważne, ale A /\ B i A \/ B nie są (znaczenia wyrażeń są różne, na przykład, gdy A \u003d 1, B \ u003d 0).
1.3. Priorytety operacji logicznych: inwersja (negacja), koniunkcja (mnożenie logiczne), alternatywa (dodanie logiczne), implikacja (po), tożsamość. Zatem ¬A \/ B \/ C \/ D oznacza to samo co
((¬A) \/ B)\/ (C \/ D).
Możliwe jest napisanie A \/ B \/ C zamiast (A \/ B) \/ C. To samo dotyczy koniunkcji: można napisać A / \ B / \ C zamiast (A / \ B ) / \ C.
Poniższa lista NIE jest wyczerpująca, ale miejmy nadzieję, że jest reprezentatywna.
2.1. Ogólne właściwości
2.2 Rozdzielczość
2.3. Spójnik
2.4. Proste alternatywy i spójniki
Nazywamy (dla wygody) spójnikiem prosty jeśli podwyrażenia, do których stosuje się spójnik, są różnymi zmiennymi lub ich negacjami. Podobnie alternatywa nazywa się prosty jeśli podwyrażenia, do których stosuje się alternatywę, są różnymi zmiennymi lub ich negacjami.
2.5. implikacja
